La Pseudosphere

A grande échelle, notre univers est tridimensionnel, l'espace hyperbolique se courbe dans la 4ème dimension. Pour comprendre ce qu'est l'espace hyperbolique tridimensionnel, examinons l'espace hyperbolique bidimensionnel. Bi-dimensionnel, la géométrie sphérique (la géométrie de l'espace sphérique) est bien représentée par la surface d'une sphère. La géométrie hyperbolique bidimensionnelle est bien représentée par la surface d'une pseudosphère. Mais qu'est-ce qu'une pseudosphère?

La pseudosphère, comme la sphère, peut être pensée comme une surface 2-D. La sphère est plus petite que le plan: elle revient sur elle-même et est finie, alors que le plan est infini. Une pseudosphère, elle, est plus grande que le plan. Plan et pseudosphère sont infinis, cependant la pseudosphère offre plus de place. Nous dirons que la pseudosphère est d'une infinité plus dense que le plan.

Précisément, comme la pseudosphère est plus grande que le plan, il est très difficile de la représenter dans nos dessins régis par la géométrie euclidienne. Mais il y a une méthode pour faire entrer une pseudosphère à l'intérieur d'une région circulaire. Cette méthode est appelée, "Le modèle de Poincaré pour la géométrie hyperbolique", et c'est le modèle utilisé par NonEuclid. Les figures A, B et C ci-dessous sont réalisées avec NonEuclid. Dans chaque figure, l'espace, cercle blanc, est le cercle frontière de la pseudosphère réduite. Réduire la pseudosphère à un disque limité déforme la pseudosphère, mais cette déformation est très utile.
Le disque du modèle de Poincaré est géométriquement équivalent à la pseudosphère originale! En d'autres termes, tout théorème prouvé dans le modèle de Poincaré sera valable dans la Pseudosphère.

Pour construire les segments et droites dans ce modèle, nous utilisons des cercles orthogonaux au cercle frontière. Ainsi sur les figures ci-dessous, pour la première, les segments sont des arcs de cercles orthogonaux au cercle blanc. Pour la deuxième figure, A étant le centre du cercle frontière, les centres des cercles orthogonaux sont "à l'infini", ce sont des droites ....

Pour une construction géométrique des droites et segments avec les outils de géométrie euclidienne.

Figure 3a: Segments égaux de même extrémité.
Figure 3b: Segments de longueur 0.25, 0.5, 1.0, 2.0, 4.0, 8.0 et 16.0 Unités.
Figure 3c: Pavage de triangles égaux.

Quand un point approche du cercle frontière, sa distance au centre devient infinie. La Figure-3a montre un ensemble de segments tous de longueur 3.00 unités. Notons que plus le segment est proche du cercle frontière, plus il apparaît "court". Cet ensemble de segments représente les rayons d'un cercle (ils sont égaux et ont une même origine).

L'ensemble des segments de la Figure-3b, ont un point de départ commun au centre du cercle frontière. AB a une longueur 0.25 unités. AC une longueur de 0.5 unités. En tournant, chaque segment est deux fois plus long que le précédent. Les deux derniers (AG et AJ) semblent avoir la même longueur, pourtant AJ (un demi pixel de plus) a deux fois la longueur de AG!.

Selon la résolution de votre moniteur, quand vous utilisez NonEuclid pour marquer des points, vous constatez que le curseur ne peut dépasser une distance de 10 unités du centre sans sortir du modèle. Sur un écran, nous sommes limités à la résolution d'un pixel. Cependant, la distance entre le dernier point accessible à l'écran et la frontière est infinie.

Bien qu'il soit impossible de représenter finement la pseudosphère dans notre espace, nous pouvons en extraire des parties pour obtenir des surfaces variées. En voyant ce que donnent ces morceaux de la pseudosphère, nous commençons à avoir une idée de la surface complète.
Les figures 3d à 3f sont de David Povilaitis, et extraites de "The Fourth Dimension" de Rudy Rucker.

Figure 3d - Un disque extrait de la Pseudosphère donne une selle de cheval. [Rucker-84]
Figure 3e - Disques de même rayon mais localisés différemment donnant une selle de cheval identique.
Figure 3f - Un secteur de la Pseudosphere, touchant la frontière, donne une trompe. [Rucker-84]

Accueil NonEuclid
Suivante - Droites parallèles