Une analyse
de cette figureConstruction de segments et de droites hyperboliques avec un logiciel de
géométrie euclidienne
( Wingeom, Sketchpad ... )
Une analyse
de cette figure
Les cercles C1 et C2 de centres A et C sont orthogonaux. F étant un point du cercle C1, (AF) recoupe C2 en J. La perpendiculaire en F à (AF) coupe C1 en I.
La puissance de A par rapport à C2 est égal à AI² ( cercles orthogonaux ) et également au produit scalaire des vecteurs AF et AJ.
Dans le triangle AIJ, nous avons donc la relation métrique: AI²=AF.AJ. Nous en déduisons que le triangle AIJ est rectangle et que FI est sa hauteur.
La construction
D'où une construction du cercle C2 orthogonal à C1 en connaissant C1, son centre A et deux points F et G de C2.
Nous menons par F la perpendiculaire à (AF) qui recoupe le cercle C1
en I et H car F est intérieur à C1 pour notre problème. Nous complétons le
triangle rectangle AIJ. Nous avons désormais 3 points G, F et J qui appartiennent à C2
.
Pour construire C2 nous menons deux des médiatrices.
Discussion
Si F est en A, la construction n'est pas possible, mais le cercle
orthogonal devient une droite ( euclidienne ).
Si F et G sont sur un même diamètre de C1 alors les médiatrices sont
parallèles. Dans ce cas le segment hyperbolique est un segment de droite au sens
euclidien.
Si F est sur C1 alors le centre de C2 est sur la perpendiculaire à
(AF) menée par F et sur la médiatrice de [FG].
Droite hyperbolique
Pour avoir la droite hyperbolique passant par F et G, il suffit de prendre K et L les intersections de C1 et C2 et de garder l'arc KL de C2 intérieur à C1.
D'autres constructions
Nous pouvons également construire facilement la droite hyperbolique
orthogonale au segment hyperbolique [FG] et passant par F. En effet il suffit de
construire un cercle C3 orthogonal à la fois à C1 et C2
et passant par F.
J est également un point de C3 qui est centré sur l'axe radical de C1
et C2 soit la droite passant par leurs intersections.
L'intersection de l'axe radical avec la médiatrice de [FJ] nous donne son centre.