Pour le professeur:
Pourquoi est-il important que les élèves étudient la géométrie hyperbolique?
Le "National Council of Teachers of Mathematics Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics" a publié les objectifs pour l'enseignement des mathématiques pour la prochaine décade au niveau K12. Ce document appelle pour les étudiants de collège et de lycée à:
"Développer la compréhension d'un système axiomatique par l'étude et la comparaison des géométries euclidienne et non-euclidienne". [NCTM-89].
Quelques arguments pour l'étude de la géométrie non-euclidienne:
NonEuclid crée un environnement interactif pour l'étude et l'exploration de la géométrie non-euclidienne au lycée et à l'université. Le logiciel inclut explications, activités, et stratégies pour insérer la géométrie non-euclidienne dans le cursus au lycée.
Voici sur un exemple comment l'étude de la géométrie hyperbolique aide les élèves à comprendre la géométrie euclidienne:
La définition des droites parallèles (en géométrie euclidienne et en géométrie hyperbolique) est:
Des droites parallèles sont des droites infinies dans un même plan qui ne se rencontrent pas.
En géométrie euclidienne, nous pouvons utiliser cette définition pour démontrer le théorème que "des droites parallèles sont équidistantes". Quand on demande aux étudiants de démontrer ce théorème, ils disent souvent "Je peux VOIR qu'elles sont équidistantes - que me demandez-vous de faire?" Ceci vient de ce que quand, très jeunes, nous avons appris les droites parallèles nous avons vu des images et dit "ce sont des droites parallèles". Nous avons des images mentales des droites parallèles, carrés et cercles à la place de définitions. Ce qui, en géométrie, est très mauvais!!! En langage commun, nous commençons avec un objet ou une idée. Une définition n'est qu'un essai de description par des mots de l'objet ou l'idée préexistante. Par exemple, un chien existe dans le monde réel. Quand nous regardons le mot "chien" dans le dictionnaire, nous trouvons une suite de mots qui essaie de décrire aussi clairement et aussi précisément que possible ce qu'est un chien. Un chien (et tous les objets du langage courant), préexiste à sa définition. En géométrie, cette définition est première. La géométrie commence par des définitions d'objets abstraits et invisibles. Les propriétés d'un objet abstrait sont des conséquences de sa définition et sont appelés "théorèmes". Par exemple, les droites parallèles N'EXISTENT PAS dans notre monde. Des droites parallèles ne sont ni plus, ni moins que des "droites infinies d'un même plan qui ne se rencontrent pas". Cette distinction est très difficile à comprendre et est la source de multiples confusions sur les démonstrations géométriques.
Une étude de la géométrie hyperbolique nous aide à rompre avec nos définitions imagées en nous montrant un monde où les images ont changé - alors que la signification des mots utilisés dans chaque définition est restée la même. La géométrie hyperbolique nous aide à nous convaincre de l'importance des mots.
De nombreux outils logiciels permettent aux élèves d'explorer la géométrie euclidienne. Par exemple, The Geometric Supposer (de Sunburst) et The Geometer's SketchPad (de Key Curriculum Press). Ces logiciels sont très populaires dans les écoles. Avec ses capacités graphiques, l'ordinateur permet une visualisation, une construction rapide et la mesure des figures géométriques avec une précision qui en d'autres temps nécessitait des instruments complexes de dessin et de calcul et du temps. Ces capacités graphiques permettent aux étudiants d'explorer des formes géométriques et des théorèmes qui ne font pas partie de leurs programmes. En utilisant ces outils, des lycéens ont découvert plusieurs théorèmes entièrement nouveaux. [Kedder-85]
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