X-Y Coordonnées cartésiennes

Cette figure ci-contre montre 24 droites infinies qui peuvent servir à la définition d'un système de coordonnées en géométrie hyperbolique. Le point X est l'origine de ce système de coordonnées. Les droites horizontale et verticale qui passent par l'origine sont les axes des x et des y. Sur cette figure, chacun des axes est coupé par des droites perpendiculaires qui marquent des intervalles de 0.5 unité. Par exemple, XA = BC = AS = ST = 0.5 unité. En géométrie euclidienne et en géométrie hyperbolique, nous définissons les coordonnées d'un point du premier quadrant comme le couple formé de la distance orthogonale du point à l'axe des x et à l'axe des y. Bien que nous utilisions la même définition des coordonnées dans les deux géométries, nous ne pouvons utiliser la méthode euclidienne de localisation en géométrie hyperbolique. Par exemple, en géométrie euclidienne, pour localiser le point (1,1), nous devons localiser la perpendiculaire à l'axe des x qui est à une unité de l'origine, puis localiser la perpendiculaire à l'axe des y qui est à une unité de l'origine et enfin prendre l'intersection de ces perpendiculaires. Cette méthode ne peut fonctionner en géométrie hyperbolique. Remarquez que la perpendiculaire à l'axe des x à une unité de l'origine (au point B), et la perpendiculaire à l'axe des y à une unité de l'origine (au point T) ne se coupent pas! Cela pourrait vouloir dire que le point (1,1) n'est pas défini en géométrie hyperbolique; pourtant le (1,1) doit exister, et il est localisé en P. La longueur de la perpendiculaire menée de P à l'axe des x est de 1 unité. Pourtant la distance de l'origine au point où la perpendiculaire rencontre l'axe des x est seulement de 0.7 unité.

Ce système de coordonnées établit une bijection entre tous les points du premier quadrant et les couples (x,y) où x et y sont des nombres réels positifs.

A quoi ressemble le graphe de y=x² en géométrie hyperbolique?

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