1°S              Module                     TRIANGLE EQUILATERAL DANS UN CARRE

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1°/ ABCD est un carré, DGF est un triangle équilatéral inscrit dans ABCD ayant un sommet en D a/ Donner une construction de ce triangle DGF en vous servant d'une rotation de centre D. b/ Montrer que CF = AG c/ Calculer en fonction de a côté du carré la longueur x commune à CF et AG. d/ E est le milieu de DF, montrer que E est sur la médiatrice de CD et AB. e/ Calculer la longueur de EI (I milieu de [AB]), en déduire que ABE est équilatéral.

2°/ K est un point quelconque du segment AD, L est l'intersection de KE et de BC. J complète le triangle équilatéral JKL. a/ Montrer que E est milieu de KL b/ Soit la similitude S de centre E, de rapport et d'angle Quelle est l'image par S de D ? Quelle est l'image par S de K ? Quelle est l'image par S du segment [DA] ? En déduire que J appartient à AB. JKL est donc inscrit dans le carré ABCD.

3°/ On prend un point M quelconque de AB.

a/ Donner une construction, utilisant H, du triangle équilatéral MPQ tel que P soit sur le côté AD et Q sur le côté BC.
b/ Où doit se trouver M pour que la construction soit possible ?
c/ Où doit se trouver M pour que le triangle ait le côté le plus petit possible ? le plus grand ?
d/ Quel est le lieu du centre de gravité de ces triangles ?

4°/ M étant en dehors des limites du 3°/ b/, peut-on construire un triangle équilatéral inscrit dans le carré avec une autre configuration pour les sommets ?

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