Utiliser NonEuclid - Mon premier triangle

NonEuclid utilise un modèle fini à deux dimensions (Le modèle de Poincaré) d'une géométrie non-euclidienne particulière, la géométrie hyperbolique. Le large cercle vide qui apparaît au démarrage de NonEuclid est nommé le "Cercle frontière". Ce cercle frontière est la zone de dessin à l'écran et il contient complètement l'espace hyperbolique infini à deux dimensions.

En géométrie hyperbolique le triangle ABC, montré ci-dessus, semble courbe. Et pourtant en géométrie hyperbolique, ses trois côtés sont des segments parfaitement rectilignes! En géométrie hyperbolique la plupart des droites apparaissent courbées vues de notre géométrie euclidienne habituelle. Si vous pouviez entrer dans le monde de la géométrie hyperbolique, toutes les "lignes droites" montrées dans cette représentation vous apparaîtraient parfaitement rectilignes.

Pour une construction géométrique des droites et segments avec les outils de géométrie euclidienne.

Les étapes suivantes permettent la construction du triangle en géométrie hyperbolique.

Choisissez l'option "Draw Line Segment (Specify Two Endpoints)" du menu " Constructions". La boîte de dialogue "Draw Line Segment" s'affiche.
Déplacez la souris à l'intérieur du cercle frontière. Notez que quand la souris est à l'intérieur de ce cercle le curseur devient une croix.
Cliquez quelque part à l'intérieur du cercle frontière. Un point sera dessiné. Ensuite, remarquez que quand vous déplacez la souris, "Length = " est suivi d'un nombre dans la boîte de dialogue "Draw Line Segment". Ce nombre est la distance du premier point marqué à la position de votre souris.
Cliquez à un deuxième emplacement à l'intérieur du cercle frontière. Un second point sera dessiné et un segment de ligne droite affiché entre les deux.
Cliquez sur l'une des extrémités de votre segment. Puis déplacez la souris vers un troisième point et cliquez à nouveau. Un second segment de droite sera dessiné. Deux côtés de votre triangle sont alors définis.
Construisez le troisième côté en cliquant sur l'une des extrémités puis sur l'autre. Votre premier triangle en géométrie hyperbolique est complet.
Vous pouvez mesurer les angles et les longueurs des côtés de votre triangle avec l'option "Measure Triangle" du menu "Measurements". Remarquez que la somme des trois angles de votre triangle est toujours inférieure à 180°.

D'autres exercices pour démarrer:
Maintenant que vous avez réussi à construire et mesurer un triangle, ce serait une bonne idée d'avoir un meilleur "feeling" pour cette étrange géométrie. Construisez de nombreuses droites et voyez si vous remarquez quelque chose à propos de leur forme. Les droites hyperboliques apparaissent incurvées, cependant certaines apparaissent parfaitement droites. Pouvez vous prévoir quels couples de points donneront des droites hyperboliques rectilignes et lesquels donneront des droites hyperboliques incurvées? Des droites hyperboliques apparaissent-elles incurvées vers le centre, vers la frontière ou seulement quelquefois vers le centre, vers la frontière? Choisissez deux points, essayez de prévoir la forme de la droite hyperbolique définie par ces deux points.

Pour utiliser NonEuclid, ouvrez votre livre de mathématiques au chapitre "Constructions à la règle et au compas". Faites ces constructions dans NonEuclid. Quelques-unes fonctionneront parfaitement (mais avec des résultats étranges), et d'autres échoueront totalement. Essayez de comprendre pourquoi.

Accueil NonEuclid
Suivant - Exercices - Démarrer l'exploration