Exercices - Comment démarrer?

9.1 Exemple d'exercice - Angles adjacents
NonEuclid vous permet de dessiner des droites et des cercles dans le plan hyperbolique.

Le menu "Help" présente un ensemble de théorèmes de géométrie euclidienne. Votre travail est de déterminer si ce sont aussi des théorèmes en géométrie hyperbolique.

Par exemple, l'assertion suivante est un théorème en géométrie euclidienne:

Théorème euclidien:

Les angles adjacents formés par deux droites sécantes sont supplémentaires, donc leur somme vaut 180°.

Pour déterminer si cette assertion est un théorème en géométrie hyperbolique vous devez essayer de trouver un contre-exemple - un exemple où la somme n'est pas égale à 180°.

Pour ceci, construisez 3 ou 4 couples de droites concourantes. Puis, marquez un point à l'intersection de chaque couple de droites. Il y a deux manières différentes pour marquer le point d'intersection. Une méthode à éviter est de sélectionner "Plot Point (by mouse)", déplacer la souris vers le point et de cliquer. Cette méthode est inappropriée car rien ne vous garantit de cliquer exactement sur le point d'intersection. La bonne méthode est de choisir "Plot Intersection Point" du menu "Constructions". Quand vous avez défini le point d'intersection, utilisez "Measure Angle" dans le menu "Measurements" pour mesurer les deux angles pour chaque couple de droites.

Si vous trouvez un contre-exemple, vous prouvez que le théorème euclidien sur les angles adjacents est faux en géométrie hyperbolique. Ne pas trouver de contre-exemple ne prouve rien; sinon que si après de nombreuses tentatives vous ne trouvez pas de contre-exemple, l'assertion semble vraie en géométrie hyperbolique.

9.2 Triangles quelconques
DEFINITION: Un triangle est une figure fermée formé par 3 segments de droite.

EXERCICE: Voici une liste de théorèmes sur les triangles en géométrie euclidienne. Lesquels (peut-être aucun) sont-ils des théorèmes en géométrie hyperbolique?

1) La somme des angles du triangle est égale à 180 degrés.

2) Le plus long côté du triangle est opposé au plus grand angle.

3) Les trois hauteurs du triangle sont concourantes. (indication: Pour construire une hauteur dans un triangle, utilisez "Draw Perpendicular" dans le menu "Constructions". Cliquez sur deux sommets pour définir la base. Ensuite cliquez sur le 3ème sommet pour dessiner la hauteur.)

4) Dans un triangle, la somme de deux côtés est toujours plus grande que le 3ème côté.

5) Dans un triangle, si vous prolongez un côté, l'angle extérieur est plus grand que n'importe lequel des autres angles intérieurs.

6) Dans un triangle, le produit "base par hauteur" est le même quelque soit le côté choisi. Par exemple, dans le triangle ABC, (AB) x (hauteur issue de C) = (BC) x (hauteur issue de A).

9.3 Triangles isocèles
DEFINITION: Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur.

EXERCICE: Voici une liste de théorèmes sur les triangles isocèles en géométrie euclidienne. Lesquels (peut-être aucun) sont-ils des théorèmes en géométrie hyperbolique?

1) Il est possible de construire un triangle isocèle. (Indication: pour prouver cette assertion, vous devez construire une figure qui satisfait à la définition -- un triangle qui a deux côtés de même longueur.)

2) Les angles de base d'un triangle isocèle sont égaux.

3) La hauteur d'un triangle isocèle est aussi bissectrice et médiane.

9.4 Triangle équilatéraux
DEFINITION: Un triangle équilatéral est un triangle qui a 3 côtés de même longueur.

EXERCICE: Voici une liste de théorèmes sur les triangles équilatéraux en géométrie euclidienne. Lesquels (peut-être aucun) sont-ils des théorèmes en géométrie hyperbolique?

1) Il est possible de construire un triangle équilatéral.

2) Un triangle équilatéral est aussi équiangulaire (les trois angles ont la même mesure).

3) Chaque angle d'un triangle équilatéral mesure 60 degrés.

9.5 Triangles rectangles
DEFINITION: Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.

EXERCICE: Voici une liste de théorèmes sur les triangles rectangles en géométrie euclidienne. Lesquels (peut-être aucun) sont-ils des théorèmes en géométrie hyperbolique?

1) Est-il possible de construire un triangle rectangle?.

2) Le théorème de Pythagore -- Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

9.6 Triangles égaux
DEFINITION: Deux triangles sont égaux si leurs côtés et leurs angles sont égaux deux à deux.

EXERCICE:

1) En géométrie hyperbolique, construire un couple de triangles quelconques qui sont égaux.

2) SSS, et SSA sont deux théorèmes de géométrie euclidienne, sont-ils deux théorèmes en géométrie hyperbolique?

3) En géométrie euclidienne, ASS, mais pas AAA, est suffisant pour prouver que deux triangles sont égaux. ASS ou AAA est-il suffisant pour prouver l'égalité de triangles en géométrie hyperbolique?

9.7 Quadrilatères quelconques
DEFINITION: Un quadrilatère est une figure fermée formée de quatre segments. Plus formellement: Soient quatre points A, B, C, et D, tels qu'ils sont dans le même plan, trois quelconques d'entre eux ne sont pas colinéaires. Si les segments AB, BC, CD, et DA n'ont comme point commun que l'une de leurs extrémités, alors ils forment un quadrilatère.

DEFINITION: Un rectangle est un quadrilatère avec 4 angles de 90°.

DEFINITION: Un carré est un rectangle avec quatre côtés égaux.

DEFINITION: Un quadrilatère régulier est un quadrilatère dans lequel tous les angles et tous les côtés ont même mesure.

EXERCICE:

1) En géométrie hyperbolique, les rectangles n'existent pas, et, par conséquent, les carrés non plus. En géométrie hyperbolique, si un quadrilatère a 3 angles droits, le quatrième est obligatoirement aigu. Construisez un exemple.

EXERCICE: Voici une liste de théorèmes sur les quadrilatères en géométrie euclidienne. Lesquels (peut-être aucun) sont-ils des théorèmes en géométrie hyperbolique?

2) Il est possible de construire un quadrilatère régulier.

3) Tous les quadrilatères réguliers ont quatre angles droits.

4) Les segments menés par les milieux des côtés opposés d'un quadrilatère régulier divise ce quadrilatère en quatre quadrilatères réguliers plus petits.

5) Les diagonales d'un quadrilatère régulier se coupent en leurs milieux.

6) Les diagonales d'un quadrilatère régulier sont perpendiculaires.

9.8 Losanges
DEFINITION: Un losange est un quadrilatère avec quatre côtés égaux.

EXERCICE: Voici une liste de théorèmes sur les losanges en géométrie euclidienne. Lesquels (peut-être aucun) sont-ils des théorèmes en géométrie hyperbolique?

1) Il est possible de construire un losange.

2) Les angles opposés d'un losange sont égaux.

3) Les diagonales d'un losange se coupent en leurs milieux.

4) Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.

5) Les diagonales d'un losange sont les bissectrices des angles.

9.8 Polygones
DEFINITION: Un polygone est une figure fermée formée par 3 ou plus segments.

DEFINITION: Un polygone régulier est un polygone dans lequel tous les angles et tous les côtés ont même mesure.

EXERCICE:

1) Parmi les polygones réguliers suivants, quels sont ceux que vous pouvez construire avec NonEuclid?

a) triangle régulier
b) quadrilatère régulier (4 côtés)
c) pentagone régulier (5 côtés)
d) hexagone régulier (6 côtés)
e) heptagone régulier (7 côtés)
f) octogone régulier (8 côtés)
g) nonagone régulier (9 côtés)
h) décagone régulier (10 côtés)
i) dodécagone régulier (12 côtés)

2) En géométrie euclidienne, un polygone peut être inscrit tout entier dans un triangle suffisamment grand. Ceci est si évident que je ne l'ai jamais vu énoncé comme un théorème. En géométrie hyperbolique, ceci est moins évident. Est-ce vrai?

3) En géométrie euclidienne, un polygone régulier peut être inscrit dans un cercle. Est-ce vrai en géométrie hyperbolique?

4) En géométrie euclidienne, un polygone régulier a un cercle inscrit. Est-ce vrai en géométrie hyperbolique?

9.9 Cercles
DEFINITION: Un cercle est l'ensemble des points situés à une distance donnée d'un point (le centre).

Remarquez que "avoir une forme ronde" ne fait pas partie de la définition du cercle. Personnellement, je trouve intéressant que les cercles aient une forme arrondie en géométrie euclidienne et en géométrie hyperbolique.

EXERCICE:

1) En géométrie hyperbolique, construire un cercle et 8 rayons de ce cercle.

2) En géométrie euclidienne, par trois points quelconques non colinéaires passe un cercle. Est-ce un théorème en géométrie hyperbolique? (Indication: Pour la recherche d'un contre-exemple, pensez à la construction euclidienne du cercle circonscrit à un triangle.)

3) En géométrie euclidienne, dans un cercle, le rapport circonférence/diamètre = pi. En géométrie hyperbolique, ce rapport est-il le même pour tous les cercles, si oui, est-il égal à 3.141592654....
Indication: Comme en géométrie euclidienne, en géométrie hyperbolique, la circonférence d'un cercle peut être trouvée par la limite du périmètre d'une suite de polygones réguliers inscrits dans ce cercle. Quand le nombre de côtés du polygone régulier augmente, le périmètre du polygone approche de plus en plus de la circonférence du cercle.

Un travail en module avec NonEuclid et son fichier WORD

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