Droites Parallèles

DEFINITION: Des droites parallèles sont des droites du même plan qui ne se rencontrent pas.

Dans la figure ci-dessus, la droite hyperbolique BA et la droite hyperbolique BC sont toutes deux des droites infinies dans le même plan. Elles se rencontrent au point B et, par conséquent, elles ne sont pas parallèles. La droite hyperbolique DE et la droite hyperbolique BA sont aussi des droites infinies dans un même plan, et elles n'ont pas de point commun, DE est parallèle à BA. De même, la droite hyperbolique DE est aussi parallèle à la droite hyperbolique BC. Il y a une chose que nous connaissons depuis longtemps en géométrie euclidienne:

Si deux droites sont parallèles à une même troisième, ces droites sont parallèles entre elles.

C'est un théorème en géométrie euclidienne, cependant en géométrie hyperbolique l'exemple ci-dessus prouve que c'est faux ( BA et BC sont parallèles a DE, pourtant BA n'est pas parallèle à BC). Cependant, vous pouvez ne pas être convaincu que BA et DE sont parallèles. Pour vous convaincre, je voudrais insister sur le fait que ces droites sont infinies. Les droites ne paraissent pas infinies. Nous pensons habituellement que des droites infinies s'éloignent indéfiniment, mais en fait des droites infinies sont des droites qui n'ont pas d'extrémité. "S'éloigner indéfiniment" et "ne pas avoir de fin" ne sont pas la même chose. Dans ce modèle de la géométrie hyperbolique, les objets paraissent de plus en plus petits quand ils approchent le cercle frontière et que la distance d'un point quelconque intérieur à la frontière est infinie. Même si un segment hyperbolique mesure 100 millions de miles de long, il n'atteindra pas le cercle frontière et chaque extrémité du segment peut être éloignée.

La droite hyperbolique n'est pas la même chose que la droite euclidienne (par exemple, la droite hyperbolique est incurvée). Elles ont cependant beaucoup de propriétés semblables. En voici quelques unes:

En géométrie euclidienne, il n'y a qu'un plus court chemin entre deux points. Nous appelons ce "plus court chemin" la ligne "droite", et ce chemin forme le segment de droite joignant les deux points. La même chose est vraie en géométrie hyperbolique avec les points hyperboliques et le segment de droite hyperbolique.
En géométrie euclidienne, deux points définissent une droite unique. Autrement dit, avec 2 points quelconques, il existe une droite passant par ces deux points. De plus cette droite est unique. Nous avons exactement la même chose en géométrie hyperbolique.
En géométrie euclidienne, la lumière se déplace selon une ligne droite euclidienne. De même en géométrie hyperbolique, la lumière se déplace selon une ligne droite hyperbolique.

En dépit de ces similarités, les droites hyperboliques ont de nombreuses propriétés différentes des droites euclidiennes. Par exemple, les théorèmes de géométrie euclidienne suivants sont faux en géométrie hyperbolique:

En géométrie euclidienne, si deux droites sont parallèles à une 3ème, ces droites sont parallèles entre elle.
En géométrie euclidienne, si deux droites sont parallèles, alors elles sont équidistantes.
En géométrie euclidienne, des droites qui n'ont pas de fin (droites infinies), n'ont pas d'extrémité (un point sans suivant, ici jamais atteint).

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