La bifurcation

La bifurcation et l'application logistique

La suite est définie par la fonction f(x)=mx(1-x) avec 0<m<4
Les graphes de cette fonction forment une famille de paraboles passant par deux points fixes l'origine et A(1;0)
Le sommet de ces paraboles est sur la droite x=0.5
L'ordonnée de ce sommet varie entre 0 pour m=0 et 1 pour m=4.
En prenant le premier terme entre 0 et 1, quelquesoit la valeur de m entre 0 et 4, la suite est bornée.

Suivant les valeurs de m, nous avons des phénomènes très différents.
Si m est entre 0 et 1, la suite converge vers 0.
Si m est entre 1 et 3, la suite converge vers .
Si m est entre 3 et 4, la suite balance entre plusieurs valeurs, 2 jusqu'à m=3.45.., puis 4, puis 8 ......

Explications
Nous prenons les intersections du graphe avec y=x, nous trouvons deux points d'intersection, l'origine et le point (;).
Le calcul des tangentes à la courbe en ces points nous donne,
pour x=0, f'(0)=m et pour x=, f'()=-m+2.

Pour m compris entre 0 et 1, f'(0) est compris entre 0 et 1, la suite converge vers 0.

Voici un exemple pour m=0.5 et le premier terme égal à 0.25.

Pour m compris entre 1 et 3, f'() est compris entre -1 et 1, et la suite converge vers cette valeur .

Voici un exemple pour m=2.5 et le premier terme de la suite égal à 0.25.
La suite converge alors vers 0.6.

Pour m entre 3 et 4, la situation est plus complexe, entre 3 et 3.449... la suite après un certain nombre de termes oscille entre deux valeurs.
Sur cet exemple, pour m=3.2, la suite oscille entre deux valeurs après un certain nombre de termes.

Pour une explication, nous étudions la fonction composée de f avec elle-même.
Cette fonction notée g(x) coupe y=x en 4 points, deux de ceux-ci étant les points trouvés pour f(x), 0 et

Pour les deux autres points, un calcul des pentes des tangentes à g(x) en ces points montre que pour m compris entre 3 et 3.449... les pentes sont comprises entre -1 et 1. La suite définie par g(x) converge alors vers l'une de ces valeurs, mais cela signifie que la suite définie par f(x) elle oscille entre ces deux valeurs.

Pour m>3.449..., une étude de g(x) composée avec elle-même serait nécessaire mais l'étude des intersections avec y=x nous donne une équation de degré 8 dont nous connaissons 4 solutions. Il en reste 4 à trouver ..... et il faudrait discuter pour quelles valeurs de m, les pentes des tangentes en ces 4 points seraient comprises entre -1 et 1 ....

Voir cette discussion dans Maple

Voici pour m=3.5, les graphes de f(x), g(x) et g(g(x)).
Nous voyons les 8 points d'intersection du graphe de g(g(x)) avec y=x.

Par le calcul des termes de la suite nous avons représenté ici l'évolution de la suite suivant les valeurs de m.Pour une valeur de m fixée, nous avons fait calculer une cinquantaine de termes de la suite, puis fait calculer et marquer à l'écran les 100 suivants.
Pour m<3, nous avons la suite qui converge avec une convergence très lente pour m=3.
Ensuite pour 3<m<3.449..., nous voyons que la suite ne prend que deux valeurs, puis quatre, puis huit ..
Ensuite le nombre de valeurs entre lesquelles oscille la suite sont de plus en plus nombreuses, nous avons un chaos avec des sorties de ce chaos et un retour à une périodicité sur quelques termes.
Pour m=4, toutes les valeurs entre 0 et 1 sont atteintes, c'est le chaos parfait ....