1°) La géométrie euclidienne repose sur 5 postulats:
P-1 Chaque couple de points définit exactement une droite.
P-2 Tout segment d'extrémités données peut être prolongé dans chaque direction.
P-3 Il est possible de construire un cercle avec n'importe quel point comme centre et n'importe quelle longueur comme rayon. (Ceci implique qu'il n'y a pas de bornes inférieure ou supérieure à la distance. Autrement dit, n'importe quelle distance, aussi grande soit-elle peut toujours être augmentée, et n'importe quelle distance, aussi petite soit-elle peut être partagée.)
P-4 Si deux droites se coupent suivant des angles adjacents égaux, chacun de ces angles est aussi égal à tout autre angle ayant la même origine.
P-5 ( Postulat des parallèles): Etant donnés une droite L et un point en dehors de L, il existe une droite et une seule qui passe par le point, soit dans le même plan que L et lui soit parallèle.

Les géométries non-euclidiennes reposent sur la négation de P5, les autres postulats restant valables.
Le postulat P5 devient:
Etant donnés une droite L et un point M en dehors de L, il existe au moins deux droites passant par M, dans le même plan que L et M et parallèles à L.

2°) Parmi les géométries non euclidiennes, nous prendrons la géométrie hyperbolique.
Le postulat SAS est un sixième postulat requis à la fois en géométrie euclidienne et en géométrie hyperbolique.
Le postulat SAS affirme que si deux côtés et l'angle formé par les deux côtés d'un triangle sont égaux à ceux d'un autre triangle, les deux triangles sont égaux.
Euclide le présentait comme un théorème déductible des autres axiomes.

3°) Modèle utilisé:
NonEuclid utilise un modèle fini à deux dimensions (Le modèle de Poincaré) d'une géométrie non-euclidienne particulière, la géométrie hyperbolique. Le large cercle vide qui apparaît au démarrage de NonEuclid est nommé le "Cercle frontière". Ce cercle frontière est la zone de dessin à l'écran et il contient complètement l'espace hyperbolique infini à deux dimensions.

Pour tracer une droite passant par deux points, il suffit de mener le cercle orthogonal au cercle frontière et passant par ces deux points, et de prendre l'arc intérieur au cercle frontière.

En géométrie hyperbolique le triangle ABC, montré ci-dessus, semble courbe. Et pourtant en géométrie hyperbolique, ses trois côtés sont des segments parfaitement rectilignes! En géométrie hyperbolique la plupart des droites apparaissent courbées vues de notre géométrie euclidienne habituelle. Si vous pouviez entrer dans le monde de la géométrie hyperbolique, toutes les "lignes droites" montrées dans cette représentation vous apparaîtraient parfaitement rectilignes….

4°) Non Euclid permet à peu près toutes les constructions à la règle et au compas de la géométrie.
Vous pouvez déplacer les points et les propriétés suivent. Vous pouvez connaître les caractéristiques des objets ( longueurs, angles …. )

Lancez Non Euclid dans le groupe Maths et avec des constructions et en bougeant les points, complétez la feuille …

Feuille à rendre:

Pour chacune des propriétés de géométrie euclidienne énoncées, dire si elle reste vraie en géométrie hyperbolique